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MODÉLISATION D'UN GAZ SUR RÉSEAU
SIMULATION NUMÉRIQUE HYDRODYNAMIQUE

Caroline BACHELET - Stéphane BAGNIER

Licence de Physique Fondamentale Modélisation Physique et Simulation Numérique
Université Paris VII Denis DIDEROT

Étude menée sous la direction de : Jacques Le Bourlot - Françoise Solliec - Olivier Cardoso

juin 1995


Notre projet de Licence est la modélisation d'un gaz sur réseau et la simulation numérique des fluides. Il est souvent moins coûteux de modéliser une expérience que de la réaliser, les gaz sur réseau reproduisent la physique de manière très précise, mais leur utilisation est encore peu répandue car la technique est récente. Cette étude est basée sur un article de D. d'Humières, de Y. Pomeau et de P. Lallemand tiré de la revue Images de la Physique. La méthode des gaz sur réseau permet la modélisation d'écoulements à deux ou trois dimensions, monophasiques ou multiphasiques. Nous nous sommes consacré à l'étude d'un modèle à deux dimensions.

Cette méthode apporte par rapport à celle des différences finies - qui utilise l'équation de Navier-Stokes une bonne stabilité des solutions numériques ainsi que la possibilité d'introduire des parois très complexes. Les systèmes utilisées sont de plus assez réduits. Pour les modèles diphasiques, l'interface est engendrée d'elle même par les lois de collisions au niveau des noeuds, elle n'a pas à être traitée explicitement,

Les gaz sur réseau existent depuis seulement une vingtaine d'années. Le premier modèle était le HPP du nom de ses inventeurs: J. Hardy, 0. de Pazzis et Y. Pomeau, c'était un réseau à géométrie carrée. Il a posé les principes mais n'a pas permis de reproduire des phénomènes hydrodynamiques. Ensuite en 1986, le modèle FHP a été; conçu par U. Frisch, B. Hasslacher et Y. Pomeau, basé sur un réseau triangulaire. Nous utilisons ce modèle pour nos expériences numériques. Le modèle de gaz sur réseau FHP est une approche intéressante des problèmes hydrodynamiques. Il montre que la simulation physique n'est pas réduite à la résolution d'équations différentielles diverses mais peut prendre une toute autre tournure.

Notre étude du modèle FHP est constituée de six parties. Dans la première, nous présentons notre modèle, nous montrons comment s'effectue le passage de la physique à la modélisation d'un gaz sur réseau. Dans la deuxième, nous expliquons comment nous effectuons nos mesures à l'aide d'un exemple simple, qui est un fluide au repos. Dans les troisième et quatrième partie nous cherchons à retrouver des résultats connus de l'hydrodynamique comme l'établissement d'un profil de Poiseuille, ou d'un profil de Couette. La cinquième partie présente les résultats de trois expériences que nous avons réalisées tel que l'apparition d'un tourbillon dans un trou ou derrière une barrière ou les perturbations produites par une plaque placée perpendiculairement à l'écoulement d'un fluide, une allée de Von Karman. Et enfin, en dernière partie, nous exposons un modèle à deux couleurs, miscible ou imiscible.

Notre étude nous a permis d'établir un grand nombre de points. L'évolution du fluide est irréversible et les collisions sont non déterministes, en accord avec l'expérience. Son maillage triangulaire n'altère pas l'isotropie macroscopique de nos systèmes. Nous avons déterminé le libre parcourt moyen théorique de nos particules et citons une méthode permettant de le vérifier. Notre fluide est de plus suffisamment incompressible pour être aisément comparable aux expériences. La simplicité apparente de ce modèle ne l'empêche pas de fournir des résultats conformes à la réalité. Grâce à lui nous avons mis en évidence le mouvement brownien, réalisé deux types d'écoulements "classiques" et mesuré l'amortissement visqueux. 11 est même apte à simuler des phénomènes complexes inaccessibles par des méthodes de résolution analytique. Les mesures prises lors des manipulations ont montré une grande stabilité; et une grande fiabilité.

Nous avons aussi eu l'occasion de découvrir ses limites. Ce modèle présente le défaut de ne pas être invariant par la transformation de Galilée. Il est très visqueux et est donc inapte à simuler des écoulements turbulents, le nombre de Reynolds le plus haut que nous ayons atteint étant 12. La vitesse des écoulements est enfin intrinsèquement limitée au domaine subsonique.

Ce projet à été réalisé grâce aux moyens techniques du CICRP. Le programme et les calculs ont été effectués sur un IBM RS6000, et le traitement des données sur des Macintosh LC. Lors de cette étude nous avons été amenés à mettre au point un programme polyvalent, capable de protections/reprises et donc de segmenter la charge totale de simulation. Il nous aurait été impossible de réaliser ce projet sans la possibilité de calculer de nuit ou sans les logiciels de traitement d'image.

Références