MODÉLISATION D'UN GAZ SUR RÉSEAU
SIMULATION NUMÉRIQUE HYDRODYNAMIQUE
Caroline BACHELET - Stéphane BAGNIER
Licence de Physique Fondamentale Modélisation Physique et
Simulation Numérique
Université Paris VII Denis DIDEROT
Étude menée sous la direction de : Jacques Le Bourlot
- Françoise Solliec - Olivier Cardoso
juin 1995
Notre projet de Licence est la modélisation d'un gaz sur réseau
et la simulation numérique des fluides. Il est souvent moins coûteux
de modéliser une expérience que de la réaliser, les
gaz sur réseau reproduisent la physique de manière très
précise, mais leur utilisation est encore peu répandue car
la technique est récente. Cette étude est basée sur
un article de D. d'Humières, de Y. Pomeau et de P. Lallemand tiré
de la revue Images de la Physique. La méthode des gaz sur réseau
permet la modélisation d'écoulements à deux ou trois
dimensions, monophasiques ou multiphasiques. Nous nous sommes consacré
à l'étude d'un modèle à deux dimensions.
Cette méthode apporte par rapport à celle des différences
finies - qui utilise l'équation de Navier-Stokes une bonne stabilité
des solutions numériques ainsi que la possibilité d'introduire
des parois très complexes. Les systèmes utilisées
sont de plus assez réduits. Pour les modèles diphasiques,
l'interface est engendrée d'elle même par les lois de collisions
au niveau des noeuds, elle n'a pas à être traitée explicitement,
Les gaz sur réseau existent depuis seulement une vingtaine d'années.
Le premier modèle était le HPP du nom de ses inventeurs:
J. Hardy, 0. de Pazzis et Y. Pomeau, c'était un réseau à
géométrie carrée. Il a posé les principes mais
n'a pas permis de reproduire des phénomènes hydrodynamiques.
Ensuite en 1986, le modèle FHP a été; conçu
par U. Frisch, B. Hasslacher et Y. Pomeau, basé sur un réseau
triangulaire. Nous utilisons ce modèle pour nos expériences
numériques. Le modèle de gaz sur réseau FHP est une
approche intéressante des problèmes hydrodynamiques. Il montre
que la simulation physique n'est pas réduite à la résolution
d'équations différentielles diverses mais peut prendre une
toute autre tournure.
Notre étude du modèle FHP est constituée de six
parties. Dans la première, nous présentons notre modèle,
nous montrons comment s'effectue le passage de la physique à la
modélisation d'un gaz sur réseau. Dans la deuxième,
nous expliquons comment nous effectuons nos mesures à l'aide d'un
exemple simple, qui est un fluide au repos. Dans les troisième et
quatrième partie nous cherchons à retrouver des résultats
connus de l'hydrodynamique comme l'établissement d'un profil de
Poiseuille, ou d'un profil de Couette. La cinquième partie présente
les résultats de trois expériences que nous avons réalisées
tel que l'apparition d'un tourbillon dans un trou ou derrière une
barrière ou les perturbations produites par une plaque placée
perpendiculairement à l'écoulement d'un fluide, une allée
de Von Karman. Et enfin, en dernière partie, nous exposons un modèle
à deux couleurs, miscible ou imiscible.
Notre étude nous a permis d'établir un grand nombre de
points. L'évolution du fluide est irréversible et les collisions
sont non déterministes, en accord avec l'expérience. Son
maillage triangulaire n'altère pas l'isotropie macroscopique de
nos systèmes. Nous avons déterminé le libre parcourt
moyen théorique de nos particules et citons une méthode permettant
de le vérifier. Notre fluide est de plus suffisamment incompressible
pour être aisément comparable aux expériences. La simplicité
apparente de ce modèle ne l'empêche pas de fournir des résultats
conformes à la réalité. Grâce à lui nous
avons mis en évidence le mouvement brownien, réalisé
deux types d'écoulements "classiques" et mesuré l'amortissement
visqueux. 11 est même apte à simuler des phénomènes
complexes inaccessibles par des méthodes de résolution analytique.
Les mesures prises lors des manipulations ont montré une grande
stabilité; et une grande fiabilité.
Nous avons aussi eu l'occasion de découvrir ses limites. Ce modèle
présente le défaut de ne pas être invariant par la
transformation de Galilée. Il est très visqueux et est donc
inapte à simuler des écoulements turbulents, le nombre de
Reynolds le plus haut que nous ayons atteint étant 12. La vitesse
des écoulements est enfin intrinsèquement limitée
au domaine subsonique.
Ce projet à été réalisé grâce
aux moyens techniques du CICRP. Le programme et les calculs ont été
effectués sur un IBM RS6000, et le traitement des données
sur des Macintosh LC. Lors de cette étude nous avons été
amenés à mettre au point un programme polyvalent, capable
de protections/reprises et donc de segmenter la charge totale de simulation.
Il nous aurait été impossible de réaliser ce projet
sans la possibilité de calculer de nuit ou sans les logiciels de
traitement d'image.
Références
-
Nouvelle méthode de simulation numérique des fluides: Le
gaz sur réseau; D. d'Humières, Y. Pomeau, P. Lallemand; Images
de la Physique
-
Physical Fluid Dynamics - 2nd Edition; D.J. Tritton; Oxford Science Publications;
1988; 532.5 TRI
Cet ouvrage est une référence en matière d'hydrodynamique.
Les chapitres commençant aux pages 10, 12,48, 64, et 90 ont été,
pour nous, des guides notables dans l'approche des phénomènes
du point de vue quantitatif. Les photographies inclues dans ce rapport
sont extraites de ce livre.
-
Hydrodynamique physique; E. Guyori, J.P. Hulin, L. Petit; Interédition/Editions
du CNRS; 1991; 532.5 GUY
-
Éléments de théorie cinétique du gaz parfait;
J.-P. Dedonder, Le Bourlot; cours de QA117-118-119 P7 1989/90
Utile pour une approche microscopique de la viscosité, page
38.
-
Lattice-Gas Automata for the Navier-Stokes Equation;
U. Frisch,
B.E. Hasslacher, Y. Pomeau; Physical Review Letters volume 54 numéro
14; page 1505; 7 Avril 1986
C'est l'article dans lequel le modèle FHP1 a été
publié.
-
De nombreux articles pointus sur les modèles FHP, et sur leurs développements
théoriques sont réunis dans Complex Systems 1 (1987) page
599 à 803. Les données théoriques de notre modèle
y ont été trouvées.
-
Immiscible Cellular-Automaton Fluids;
D.H. Rothman, J.M. Keller;
journal of Statistical Physics; volume 52, numéro 3/4; 1988
Cet article est la publication du modèle diphasique que nous
avons essayé de mettre en þuvre.
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